Расчет параметров потока газов
Проводимость канала определяет его способность транспортировать газ. Она выражается в единицах объема газа, проходящего через данное сечение в единицу времени. Зависимости для расчета проводимости элемента, работающего в различных условиях, являются весьма сложными и зависят от режима течения, а также от геометрических параметров канала и свойств его поверхности. Расчеты проводимости и потока газа при турбулентном режиме течения трудно трактовать аналитически. Количественное определение параметров вязкостного потока также представляет трудности, поскольку зависит не только от формы канала, но и от давления газа. Однако при тех диапазонах давлений, которые имеют место в условиях высокого вакуума, поток является молекулярным, а не вязкостным.
Уравнения для расчета параметров вязкостного потока
В общем случае уравнения для расчета проводимости и потока газа при вязкостном режиме течения получены для трубопроводов и каналов, имеющих сечение простой геометрической формы - круглое или прямоугольное. Эти выражения используются, например, для расчета времени, необходимого для откачки сосуда через трубопровод, имеющий круглое или прямоугольное поперечное сечение.
Течение в трубопроводах круглого сечения
Поток газа по прямому трубопроводу круглого сечения в условиях вязкостного режима определяется уравнением Пуазейля:
$$\frac{Q}{P_{1}-P_{2}}=K \frac{d^{4}P}{\eta L}, (60)$$
где d - диаметр трубы; L - длина трубопровода; η - динамическая вязкость газа; р - среднее давление в трубопроводе; р1 и р2 - давления на противоположных концах трубы.
Для сухого воздуха при 20 °С данное уравнение приобретает вид:
$$Q= \frac{750d^{4}\bar{P}}{L}(P_{1}-P_{2}), (61)$$
где Q - поток газа, Торр - л/с; d - диаметр трубопровода, см; L - длина трубопровода, см; р - это давление, Торр.
Проводимость круглого трубопровода, л/с, для воздуха при 20 °С приведено ниже:
$$C= \frac{2,94pd^{4}}{L}, (62)$$
Течение в прямоугольных каналах
Уравнение Пуазейля для потока воздуха при 20 °С, текущего по прямоугольному каналу с большей стороной сечения а и меньшей b, имеет следующий вид, л/с:
$$C= \frac{30a2b2KP}{L}, (63)$$
где К — это коэффициент формы, значение которого зависит от b/а.
Как можно видеть, проводимость прямоугольной диафрагмы (отверстия) быстро увеличивается при переходе сечения от прямоугольной щели к квадрату.
Так же, как и в случае круглого трубопровода, выражение для С позволяет получить соотношение для объемного потока газа в зависимости от перепада давлений в канале.
$$C= \frac{pK}{\Delta p}, (64)$$
где
$$F= \frac{Cp}{\Delta p}, (64)$$
Таким образом,
$$K= \frac{30a_{2}b_{2}K}{L} \cdot \Delta p, (65)$$
л/с.
Уравнения для расчета параметров молекулярного потока
При низких значениях давления межмолекулярные столкновения происходят реже, чем столкновения со стенкой, поэтому последние определяют параметры газового потока по каналу. Проводимость канала в условиях молекулярного потока зависит от двух факторов:
- Скорости, с которой молекулы поступают в канал.
- Вероятности прохождения молекул по системе.
Первый фактор зависит от площади сечения входа в систему, а последний определяется последующей серией столкновений со стенками, в результате которых молекула в конечном итоге перемещается по каналу или отбрасывается обратно в откачиваемый сосуд.
Рассмотрим вначале случай очень тонкой диафрагмы в пластине. В данном случае для определения проводимости диафрагмы нас интересует ее площадь А, а не свойства стенок канала. Объем газа, проходящего через диафрагму - ее проводимость - составляет:
$$C_{a}= \frac{1}{4}AV=(\frac{2}{p})^{-1} - V^{0}A, (66)$$
если молекулы имеют распределение скоростей по Максвеллу. Значения проводимости зависят от молекулярной массы и кинетической энергии. Случай, когда столкновения молекул со стенками трубопровода являются более важными, чем проводимость отверстия, рассмотрен ниже.
Формула Кнутсена
Проводимость СΥотрезка длинной трубы длиной L с переменной площадью сечения А и периметром Н была рассчитана Кнудсеном и составляет:
$$C_{\Upsilon} = \frac{4}{3} \sqrt{ \frac{H( \delta)}{A^{2} L} \cdot de }. (67)$$
Были приняты следующие допущения:
- Длина трубопровода значительно больше диаметра.
- Направление движения отскочивших молекул после столкновения со стенками не зависит от направления их движения до столкновения.
- Угловое распределение отскочивших молекул подчиняется закону косинуса.
Допущение 1 предполагает, что влияние отверстия является незначительным, а величина проводимости, получаемая из уравнения (67), относится к молекулам внутри трубы, удаленным от отверстия. Для получения приближенных выражений для проводимости всей трубы нужно включить последовательную проводимость отверстий. Карлсон приводит формулу для трубопровода с периметром Н, площадью Л и длиной L:
$$C_{a}=1+ \frac{3}{16} \cdot 9 \frac{LH}{A}). (58)$$
Коэффициент Клаузинга
Проводимость длинного трубопровода связана с проводимостью входного отверстия коэффициентом [1 +3/16(LH/A)]-1 Ca. Этот коэффициент можно интерпретировать как вероятность случайного входа молекулы в отверстие и ее прохождения до самого конца трубопровода.
Целесообразно рассматривать проводимость с точки зрения проводимости отверстия и соответствующей вероятности прохождения молекулы (коэффициента Клаузинга), поэтому
$$C=CA \cdot P_{1 \to 2}= 1/4vA_{1}P_{1\to 2}. (69)$$
Так как проводимость не зависит от направления движения молекул,
$$A_{1}P_{1 \to 2} = A_{2} P_{1 \to 2}. (70)$$
Примеры. Выражение для потока газа по длинному прямому трубопроводу было дано Кнудсеном:
$$Q= \frac{ \pi d^{3/2}}{L}$$
$$Q=( \pi d^{3/2}/L)n_{a}(P_{1}-P_{2}), (71)$$
где d - диаметр трубопровода; L - длина трубопровода; nа - средняя скорость молекулы; р1 и р2 - давления на противоположных концах трубопровода.
Для сухого воздуха при 20 °С d и L, выраженных в дюймах, а р - в Торр, данное уравнение принимает следующий вид:
$$Q=(80d^{3}/L)n_{a}(p_{1}-p_{2}), (72)$$
Приблизительные значения некоторых вероятностей прохождения имеют точность в пределах + 10%. Это разнообразные методы, которые включают аналитические методы, расчеты по методу пробной частицы Монте-Карло и методу вариаций. Карлсон исследовал различные геометрические формы и ссылается на соответствующие источники. Примеры числовых расчетов можно найти в работе Карлсона.
Группа РОСВАКУУМ
Адрес: 107023 Россия, г. Москва, Электрозаводская улица, 21
Часы работы офиса: с 9:00 до 18:00 по Москве.
Телефон: +7 (495) 664-22-07
E-mail: baza@vacuumpro.ru
Чтобы заказать бесплатный подбор оборудования, отправить заявку, запрос или получить консультацию инженеров - свяжитесь с нами по телефону или E-mail.
В базе 310 производителей и поставщиков вакуумного оборудования и техники (РФ, СНГ и зарубежные компании). Цены, наличие на складах и технические характеристики оборудования и техники уточняйте только по электронной почте E-mail.